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By Heinz-Georg Quebbemann

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32 Nach dem Polynom f mit ”variablen Nullstellen” betrachten wir nun eines mit ”variablen Koeffizienten”. 4 Sei K = K0 (u1 , . . , un ) der rationale Funktionenk¨orper in n unabh¨angigen Variablen u1 , . . , un . Das allgemeine Polynom n-ten Grades g(t) := tn + u1 tn−1 + . . + un ∈ K[t] ist separabel und hat u ¨ber K die Galoisgruppe Sn . Zum Beweis gen¨ ugt es zu zeigen, dass mit den elementar-symmetrischen s1 , . . , sn ∈ K0 [t1 , . . , tn ] der Einsetzungshomomorphismus ψ : K0 [u1 , . .

Sn ], ui → (−1)i si ein Isomorphismus ist. 3 einen Isomorphismus K ∼ = E, bei dem g in das vorher betrachtete Polynom f u ¨bergeht, und es folgt G(g) ∼ G(f ) = Gal(L|E) = Sn . = n ¨ber Offensichtlich ist ψ surjektiv. Um die Injektivit¨at zu zeigen, schreiben wir g = j=1 (t − λj ) u einem Zerf¨allungsk¨orper. Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich liefert ui = (−1)i si (λ1 , . . , λn ), i = 1, . . , n. Ist nun h ∈ K0 [u1 , . . , un ] im Kern von ψ, also h(−s1 , s2 , . . , (−1)n sn ) = 0, dann folgt mit der Substitution ti → λi (i = 1, .

P = tp−1 +. +t+1. Ferner kann man mit Induktion Φn ∈ Z[t]. Endliche K¨ orper Am Ende des vorigen Kapitels (oder vielleicht auch schon in der Algebra I) haben wir zu jeder Potenz q einer Primzahl p einen K¨orper mit q Elementen gesehen. Umgekehrt hat ein endlicher K¨orper K mit q Elementen eine Primzahl p als Charakteristk, und aufgrund der Gleichung p · 1 = 0 enth¨alt er Z/pZ = Fp ; es folgt q = pe mit e = [K : Fp ]. Nach dem kleinen Fermat’schen Satz erf¨ ullen alle α ∈ K die Gleichung αq = α, daher ist K Zerf¨allungsk¨orper des Polynoms tq − t u ¨ber Fp .

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by Steven
4.2

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