Alexander Schmitt's Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] PDF

By Alexander Schmitt

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I) F¨ur jedes Element g ∈ G gilt g2 = e. ii) Das Produkt zweier verschiedener nichttrivialer Elemente in G ist das dritte nichttriviale Element. Jetzt f¨ulle man das Solitaire-Feld mit den Buchstaben a, b und c dergestalt auf, dass auf drei benachbarten Feldern in horizontaler oder vertikaler Richtung immer drei verschiedene Buchstaben stehen. B. 2 wiedergegeben. 8 Lemma. i) Jedes Element auf dem Spielfeld ist Produkt der beiden Elemente, die links oder rechts von ihm bzw. u¨ ber oder unter ihm stehen.

N − 1. , n−1 } und j ∈ { 0, 1 } schreiben. 17 Definitionen. i) Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn ein Element g ∈ G mit G= g existiert. ii) F¨ur g ∈ G ist Ord(g) := ∞, falls gn min{ n ≥ 1 | g = e }, sonst n e f¨ur alle n ≥ 1 die Ordnung von g. 18 Bemerkungen. i) F¨ur eine Gruppe G und ein Element g ∈ G ist evg : −→ G k −→ gk ein Gruppenhomomorphismus. Dabei gilt ⋆ Der Homomorphismus evg ist genau dann injektiv, wenn Ord(g) = ∞. 3, ii). (vgl. Beispiel ii) Eine zyklische Gruppe ist abelsch. ) Der Begriff der Ordnung eines Elements ist ein erstes n¨utzliches Hilfsmittel, um nichtisomorphe Gruppen voneinander zu unterscheiden: Gegeben seien zwei Gruppen G1 und G2 und ein Element g ∈ G1 der Ordnung n ∈ { 1, 2, 3, ...

4 liefert eine allgemeine Erkl¨arung hierf¨ur. 49 Kapitel II. Gruppentheorie Wir setzen Ker(ϕ) = {e} voraus. Es seien h ∈ H und g, g′ ∈ G mit ϕ(g) = h = ϕ(g′ ). h. g−1 · g′ ∈ Ker(ϕ). Die Voraussetzung zeigt g−1 · g′ = e und folglich g = g′ . 6 Beispiele. i) Es seien k ein K¨orper und n ≥ 1. F¨ur den Determinantenhomomorphismus Det : GLn (k) −→ k⋆ ist Ker(Det) = m ∈ GLn (k) | Det(m) = 1 =: SLn (k), die sogenannte spezielle lineare Gruppe. ii) Bei dem Homomorphismus q : Ê⋆ −→ Ê⋆ , x −→ x2 , haben wir Ker(ϕ) = {±1} und Im(ϕ) = Ê>0 .

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