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By Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

ISBN-10: 3663092399

ISBN-13: 9783663092391

ISBN-10: 3663092402

ISBN-13: 9783663092407

Dr. Otto Forster ist Professor am Mathematischen Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München und Autor der bekannten Lehrbücher research 1-3.

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Primfaktor- Zerlegung 41 Da die Konstanten C E Q* Einheiten in Q[X] sind, folgt durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koeffizienten, dass jedes Polynom aus Q[X] zu einem Polynom aus Z[X] mit ganzzahligen Koeffizienten assoziiert ist. 7. Definition. Ein Polynom n L ai Xi E Z[X] i=O heifit primitiv, wenn der gr6fite gemeinsame Teiler seiner Koeffizienten ai gleich 1 ist. F(X) = 1st ein Polynom aus Z[X] nicht primitiv, so kann man den gr6fiten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten ausklammern.

H. alie Potenzen an sind paarweise voneinander verschieden. Dann heiBt a ein Element unendlicher Ordnung. In diesem Fall ist die U ntergruppe (a) isomorph zur additiven Gruppe (Z, +). ii) 1st p nicht injektiv, so ist der Kern von p, das Urbild des Einselements e E G, eine von 0 verschiedene Untergruppe von Z, also von der Gestalt mZ mit einer ganzen Zahl m ~ 1. Es gilt also an = e genau dann, wenn n ein ganzzahliges Vielfaches von mist. Die Zahl m heiBt die Ordnung von a, geschrieben m = ord(a).

Wir fUhren Division mit Rest durch: x = qy + r, wobei r = 0 oder f3(r) < f3(y). 1m Fall r = 0 ist y gr6f3ter gemeinsamer Teiler. Andernfalls k6nnen wir die Induktions-Voraussetzung auf (y, r) anwenden. Sei d gr6f3ter gemeinsamer Teiler von y und r. Dann gilt d I x und d I y. Andrerseits folgt aus d' I x und d' I y, dass d' I r, also aufgrund der Definition von d auch d' I d. Daher ist d gr6f3ter gemeinsamer Teiler von x und y. Bezeichnung. 5 existiert also insbesondere fUr ganze Zahlen x, y ein gr6fiter gemeinsamer Teiler, der bis auf einen Faktor ±1 eindeutig bestimmt ist.

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by Thomas
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