New PDF release: Arbeitsbuch Algebra: Aufgaben und Lösungen mit ausführlichen

By Christian Karpfinger

ISBN-10: 3662459809

ISBN-13: 9783662459805

ISBN-10: 3662459817

ISBN-13: 9783662459812

Dieses Buch erleichtert Ihnen den Einstieg in das eigenständige Lösen von Aufgaben zur Algebra, indem es Ihnen nicht einfach nur Aufgaben mit Lösungen, sondern vor allem auch Hinweise zur Lösungsfindung und ausführliche Motivationen bietet.

Damit ist das Werk excellent geeignet zur Prüfungsvorbereitung, wenn Sie ein tieferes Verständnis der Algebra entwickeln wollen oder wenn Sie sich gerne an kniffligen Aufgaben einer faszinierenden mathematischen Disziplin versuchen.

In den mehr als three hundred Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade durchleuchten wir die grundlegenden algebraischen Strukturen Gruppen, Ringe und Körper, wie sie typischerweise in einer Anfängervorlesung für Mathematikstudierende behandelt werden.

Vielfach berufen wir uns in den Lösungen auf Sätze, Lemmata und Korollare des Buches Algebra, Gruppen –Ringe – Körper von Ch. Karpfinger und ok. Meyberg.

Der Autor

PD Dr. Christian Karpfinger lehrt an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern.

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Somit ist U N ein Normalteiler in G. 4 Die Lösung ist ganz einfach, wenn U ein Normalteiler von G ist, da in diesem Fall a U a 1 D U , also \ aU a 1 D U a2G gilt. Wir setzen nun (wie in der Aufgabenstellung verlangt) voraus, dass U nur eine UnterT gruppe von G ist. Wir setzen V WD a2G a U a 1 . Da für jedes a 2 G die Menge a U a 1 eine Untergruppe von G ist, ist V als Durchschnitt von Untergruppen von G eine Untergruppe von G. Es sei x 2 G. Wir zeigen x V x 1 D V , woraus sofort die Behauptung V E G folgt.

Nach Voraussetzung gelten dann die Inklusionen a U a 1 Â U und a N a 1 Â N . Damit gilt auch a U N a 1 D a U a 1 a N a 1 Â U N . Somit ist U N ein Normalteiler in G. 4 Die Lösung ist ganz einfach, wenn U ein Normalteiler von G ist, da in diesem Fall a U a 1 D U , also \ aU a 1 D U a2G gilt. Wir setzen nun (wie in der Aufgabenstellung verlangt) voraus, dass U nur eine UnterT gruppe von G ist. Wir setzen V WD a2G a U a 1 . Da für jedes a 2 G die Menge a U a 1 eine Untergruppe von G ist, ist V als Durchschnitt von Untergruppen von G eine Untergruppe von G.

H. U / n U : Die Behauptung folgt also aus ( ), und ( ) können wir als Induktionsbehauptung voraussetzen. (b) Es sei U eine maximale Untergruppe von G. U /. U / D G gelten muss. 6 (Algebrabuch)). x; y/ : Also ist tatsächlich eine Operation. x; y/ 2 R2 j xy D x0 y0 g. Die Bahnen (siehe Abb. 1) sind also im Fall x0 y0 ¤ 0 der Graph der Hyperbel R n f0g ! R; x 7! 0; 0/. 0; 0/g. x0 y0 , x welcher durch Man beachte, wie man so eine Partition von R2 in die Menge aller Bahnen erhält. 60 7 Gruppenoperationen 10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Abb.

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Arbeitsbuch Algebra: Aufgaben und Lösungen mit ausführlichen Erklärungen und Hinführungen by Christian Karpfinger


by James
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